Cours : 3ème - PDF à imprimer

Cours pour la 3ème sur la synthèse sur les équations et problèmes. Équations du premier degré du type Équations du premier degré du type ax+b=cx+d ❶ Par additions et soustractions, on cherche à regrouper les termes en x dans un même membre et les nombres dans l’autre, on réduit. ❷ On divise si besoin. ❸ On vérifie avec l’équation initiale et on conclut. 7x+3=2x-5 7x+3-3=2x-5-3 7x=2x-8 7x-2x=2x-8-2x 5x=-8 5x/5=(-8)/5 x=(-8)/5=-1,6 7×(-1,6)+3=-8,2 et 2×(-1,6)-5=-8,2 La solution de l’équation est – 1,6….

Cours pour la 3ème sur le calcul de volumes. Rappels : formules Volume=aire de la Base×hauteur Le cube V_cube=c×c×c =c^3 Le pavé droit V_pavé=l×L×h Le prisme droit V_prisme=A_base×h Le cylindre V_cylindre=π×r^2×h Volume=aire de la Base×hauteur/3 La boule V_boule= 4/3 ×π×r^3 La pyramide V_pyramide=A_base× h/3 Le cône V_cône=π×r^2× h/3 Remarques : – Les volumes faisant intervenir π ou une écriture fractionnaire peuvent s’exprimer avec leur valeur exacte. Exemples : Le volume d’un cylindre de rayon 3 et de hauteur 10 est…

Cours pour la 3ème sur les statistiques : la moyenne et médiane. Moyenne simple : La moyenne simple d’une série se calcule par : (somme de toutes les valeurs)/(effectif total) Exemple : Soient 10 élèves mesurant, en cm : 156 ; 161 ; 162 ; 162 ; 164 ; 167 ; 172 ; 173 ; 177 ; 181 La moyenne des tailles des élèves vaut : (156+161+162+162+164+167+172+173+177+181)/10=1675/10=167,5 cm. Moyenne pondérée : Quand il y a des effectifs, ou des coefficients,…

Cours sur les volumes pour la 3ème sur la boule et sphère. La sphère : La sphère de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M du plan tels que OM=r. Une sphère est donc « vide » : il s’agit d’un objet en 2 dimensions, dont on peut calculer l’aire. Calcul de l’aire : l’aire A d’une sphère de rayon r est donnée par : A=4×πr^2. Exemple : On considère une boule de rayon r =…

Cours pour la 3ème sur la synthèse sur le théorème de Pythagore et la trigonométrie. Je sais que le triangle est rectangle. On veut connaître la mesure d’un angle. On veut connaître la longueur d’un côté. On connaît deux longueurs On connaît une longueur et un angle On connaît deux longueurs Je veux savoir si le triangle est rectangle (le + grand côté est [AC]).   Voir les fichesTélécharger les documents Cours Synthèse sur le théorème de Pythagore et la…

Cours pour la 3ème sur la réciproque de Thalès et parallèles. Réciproque du théorème de Thalès : Application : démontrer que deux droites sont parallèles ou non ● B, R et V sont alignés B, E et T aussi, dans le même ordre. ● BR/BV=〖3,5〗^( ×2)/〖4,5〗^( ×2) =7/9 et BE/BT=〖2,8〗^( ×10)/〖3,6〗^( ×10) =28^( ÷4)/36^( ÷4) =7/9 ● On constate que BR/BV=BE/BT ● Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (RE) et (VT) sont parallèles. ● R, U…

Cours sur la trigonométrie pour la 3ème sur calculer un angle. Calculer la valeur d’un angle grâce aux formules trigonométriques. En 3ème, les formules trigonométriques permettent également de calculer la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle lorsqu’on connaît la longueur de deux côtés. En fonction des valeurs connues, on établit le bon rapport trigonométrique. Puis la valeur de l’angle se retrouve grâce à la fonction inverse du cosinus : cos-1, du sinus : sin-1 ou de la tangente :…

Cours pour la 3ème sur calculer une probabilité. Equiprobabilité : Définitions : Pour une expérience aléatoire, si tous les évènements élémentaires ont même probabilité, on parle de situation d’équiprobabilité. Dans ce cas, la probabilité d’un évènement A se calcule de la façon suivante : P(A)=(nombre d^’ issues composant A)/(nombre total d’issues). Exemple : On lance un dé à 6 faces et l’on s’intéresse au nombre obtenu. Il y a ici 6 issues (1, 2, ….. , 6) qui ont toutes…

Cours sur les statistiques pour la 3ème sur les effectifs, fréquence et étendue. Effectif : L’effectif d’une valeur correspond au nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série statistique. La somme de tous les effectifs est appelée l’effectif total, il donne la taille de la population. Exemple : on étudie les notes de 10 élèves à un contrôle de maths : 11 – 14 – 11 – 13 – 12 – 17 – 14 – 13 – 11…

Cours sur le théorème de Thalès pour la 3ème sur calculer de longueur. Configurations de Thalès : Il existe deux types de configurations de Thalès : Égalité de Thalès : Dans de telles configurations, les triangles BAT et MAN ont une relation d’agrandissement-réduction (on parle de « triangles semblables»), et donc des côtés proportionnels. Ce qui peut se traduire par l’égalité : Application : calcul d’une longueur Déterminons OJ. On sait que : les points O,J et K sont alignés,…

Cours sur l’homothétie pour la 3ème sur les constructions et propriétés. Construction : Construisons : A’, l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport – 3 et B’ image de B par l’homothétie de centre O et de rapport 0,5. On trace la droite (OA). L’image A’ se trouve de l’autre côté de A par rapport à O. On place A’ tel que : OA’ = 3×OA On trace la demi-droite (OB). L’image B’ se trouve du…

Cours pour la 3ème sur le vocabulaire des probabilités. Les probabilités sont le domaine des Mathématiques qui s’intéresse à l’étude des évènements qui ont une part d’aléatoire. Les cas les plus connus sont un lancé de dé, un tirage du loto….. Vocabulaire des probabilités : Définitions : On appelle expérience aléatoire toute expérience dont on ne peut déterminer de façon certaine le résultat. Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est appelé issue. Exemple : On tire au hasard un élève…

Cours pour la 3ème sur la puissance de 10 et écriture scientifique. Puissances de 10 à exposant positif. Soit n un nombre entier positif, on appelle 〖10〗^n le produit de n facteurs 10. Donc 10^n= 10×10×10×….. ×10= 1000….. 0 Exemples : 10^10=10×10×10×10×10×10×10×10×10×10=10 000 000 000 Remarque : Si n=0 alors 〖10〗^0=1 si n=1 alors 〖10〗^1=10 Puissances de 10 à exposant négatif. Soit n un nombre entier positif, on appelle 〖10〗^(-n) l’inverse du produit de n facteurs 10. Donc 10^(-n)=1/(10×10×10×….. ×10)=1/(1000……..

Cours pour la 3ème sur une Homothétie (Introduction).  Définition : Une homothétie est une transformation géométrique, plus précisément un agrandissement ou une réduction d’une figure géométrique, définie par un centre et un nombre, appelé rapport. ① Homothéties de rapport positif : la figure 2 est un agrandissement de rapport 2 de la figure 1. On dit que la figure 2 est l’image de la figure 1 par homothétie de centre M et de rapport 2. ② Homothéties de rapport…

Cours sur la trigonométrie pour la 3ème sur calculer une longueur. En 3e, la trigonométrie ne peut s’utiliser que dans des triangles rectangles. Les formules trigonométriques ne s’appliquent pas à l’angle droit : elles s’appliquent uniquement aux angles aigus des triangles rectangles. Calculer une longueur avec la trigonométrie Les formules trigonométriques permettent de déduire la longueur d’un ou de deux côtés lorsqu’on connaît la longueur d’un côté ET la mesure d’un angle. En fonction des valeurs connues et de la…

Cours pour la 3ème sur une équation produit et racine carrée. Équation produit nul Une équation produit nul est une équation écrite sous la forme (ax+b)(cx+d) = 0 (remarque : une équation produit nul peut contenir plus de 2 facteurs) Exemples : (2x+1)(x-3) = 0 est une équation produit. (2x+1)+ (x-3)= 0 et (x-5)(4x+7) = 1 ne sont pas des équations produit. Propriété : Un produit de facteurs est nul si au moins l’un des deux facteurs est nul, cela…

Cours pour la 3ème sur la synthèse fonctions. Les fonctions sont très utiles pour modéliser des phénomènes dits continus. Il s’agit de problèmes dont la variable peut prendre n’importe quelle valeur (pas forcément des nombres entiers). Exemple 1 : On considère un carré dont la longueur des côtés est inconnue. On souhaite calculer le périmètre de ce carré. Ici, l’inconnue est la longueur des côtés, on la nomme x. Puisque x est une longueur, ses valeurs peuvent être n’importe quelle…

Cours pour la 3ème sur la rotation. Une rotation est une transformation géométrique, comme la symétrie axiale, la symétrie centrale ou la translation. Définition : Transformer une figure par rotation, c’est la faire tourner autour d’un point. Une rotation est définie par : un centre un angle un sens (le sens « direct » est inverse aux aiguilles d’une montre, ou le sens horaire est donc dit « indirect ») Construction : Construisons M’, l’image de M par la rotation…

Cours pour la 3ème sur la trigonométrie : vocabulaire. Côté d’un triangle rectangle L’hypoténuse est le côté le plus long d’un triangle rectangle. C’est aussi le côté opposé à l’angle droit. Les deux autres côtés peuvent être définis par les angles aigus du triangle rectangle. On a alors le côté opposé et le côté adjacent d’un angle donné. Rappel sur les angles Un angle peut être aigu (entre 0 et 90), obtus (entre 90° et 180°) ou droit (90°). Dans…

Cours pour la 3ème sur les grandeurs composées et conversions. Certaines grandeurs se composent de deux unités, on les appelle grandeurs composées. Grandeurs produits : c’est le produit de 2 grandeurs. Exemple : l’énergie (en Wh) d’un appareil électrique se calcule par la formule : Energie=puissance × durée Un fer électrique a une puissance de 1 200 Watts et est utilisé pendant 30 min. Quelle est l’énergie utilisée en Wh ? 30 min = 0,5 h → énergie=1200 ×0,5=600 Wh…

Cours pour la 3ème sur les triangles semblables. Rappel : triangles égaux Définition : Deux triangles sont dits égaux ou isométriques si leurs côtés sont deux à deux de même longueur. Des triangles égaux sont superposables et leurs angles ont la même mesure. Triangles semblables Définition : Deux triangles sont dits semblables si leurs angles sont deux à deux de même mesure. Exemple : Ci-contre, les triangles ABC et DEF sont semblables. Remarque : Si seulement 2 angles d’un triangle…

Cours pour la 3ème sur la translation.  Définition : Une translation est une transformation géométrique, comme la symétrie axiale ou la symétrie centrale que tu connais déjà. Transformer une figure par translation, c’est la faire glisser sans la tourner. Ce glissement rectiligne est défini par :  une direction,  un sens,  une longueur. On peut le schématiser par des flèches.  Construction : Construisons M’, l’image de M selon la translation qui transforme A en B. On…

Cours pour la 3ème sur la réciproque et contraposée du théorème de Pythagore. Réciproque du théorème de Pythagore La réciproque du théorème de Pythagore nous permet de savoir si un triangle est rectangle en connaissant les longueurs de ses trois côtés. Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des autres côtés alors ce triangle est rectangle. Autrement dit, dans le triangle ABC : SI BC2 = AB2 + AC2 ALORS…

Cours pour la 3ème sur résoudre une équation du premier degré. Définitions Une équation est une égalité avec une inconnue. On appelle premier membre le terme situé à gauche du signe = et second membre le terme situé à droite. Résoudre une équation consiste à trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’égalité. On appelle ces valeurs les solutions de l’équation. Exemples : 3x+7 = 12x-2 est une équation, 3x+7 est le premier membre et 12x-2 est le second…

Cours pour la 3ème sur le calcul littéral : Synthèse. Notations et multiplications On peut supprimer des symboles de multiplication : 3×x=x×3=3x Cas particulier : 1×x=1x=x Notation : x×x=x^2 (≠2x) Multiplications: 3x×5=3×x×5=15x 3x×2x=3×x×2×x=6x^2 2a×5b=2×a×5×b=10ab Substitution SUBSTITUER : c’est remplacer une lettre par une valeur donnée. A=2x^2-7x+2 pour x=3 A=2×3^2-7×3+2 A=2×9-21+2 A=18-21+2 A=-1 → on fait réapparaître les « × » et on applique les priorités. Additions et soustractions REDUIRE : c’est ajouter ou soustraire les termes qui ont la même…

Cours pour la 3ème sur les nombres premiers et simplification de fractions.  Nombres premiers Définition (nombre premier) : Un nombre premier est un nombre entier positif qui possède exactement deux diviseurs distincts : lui-même et 1. Exemples : – 0 n’est pas premier car 0 a une infinité de diviseurs. – 1 n’est pas premier car 1 n’a qu’un seul diviseur : lui-même. – 2 est premier car 2 possède exactement deux diviseurs : 1 et 2. Le nombre…

Cours pour la 3ème sur déterminer une fonction affine et linéaire. Fonctions linéaires : Rappel : Une fonction linéaire f a une expression de la forme f(x)=ax. Propriété : Soit y un nombre quelconque et f une fonction linéaire. Le nombre y possède un et un seul antécédent par f. ① Calculer un antécédent : Pour calculer un antécédent d’une fonction linéaire, je peux résoudre une équation. Exemple : Soit f la fonction linéaire d’expression f(x)=-2,5x. On cherche l’antécédent de…

Cours pour la 3ème sur les fonctions affines. Fonctions affines : Définition : Soient a et b 2 nombres quelconques. On appelle fonction affine toute fonction f dont l’expression est de la forme f(x)= ax+b. Le nombre a est appelé coefficient directeur et le nombre b ordonnée à l’origine. Exemples : – La fonction f définie par f(x)= 2x-1 est affine. Le coefficient directeur vaut 2, l’ordonnée à l’origine vaut -1. – La fonction g définie par g(x)= -x+0,5 est…

Cours pour la 3ème sur les fonctions linéaires. Fonctions linéaires : Définition : Soit a un nombre quelconque. On appelle fonction linéaire toute fonction f dont l’expression est de la forme f(x) = ax. Le nombre a est appelé coefficient directeur. Exemples : La fonction g définie par g(x) = 3x est linéaire et son coefficient directeur vaut 3. La fonction h définie par h(x)= -1,4x est linéaire et le coefficient directeur vaut -1,4. Les fonctions i et j définies…

Cours pour la 3ème sur les fonctions sur factoriser avec une identité remarquable.  Rappel : Factoriser une expression littérale, c’est transformer une somme (ou différence) en un produit. C’est le contraire de développer : k×a+k×b=k×(a+b) et k×a-k×b=k×(a-b) → Il faut repérer le facteur commun. → On regroupe dans une parenthèse les autres facteurs, en addition ou soustraction. Exemples : 5x+5y=5×(x+y) 3x+12=3×x+3×4=3×(x+4) x^2-7x=x×x-7×x=x×(x-7) 4x(x+1)+3(x+1)=(x+1)×(4x+3)  Factoriser à l’aide d’une identité remarquable : Soient a et b deux nombres quelconques, on…